Nullmenge Beispiel Essay

Eine Nullmenge ist in der sogenannten Maßtheorie (Lebesgue-Integrale) ein wichtiger Begriff. Wir wollen hier allerdings nicht so hoch ansetzen, sondern den Begriff nur im Bereich der reellen Zahlen beweisen.

Definition

Eine Menge $M\subset\mathbb R$ heißt Nullmenge, falls zu jedem $\varepsilon>0$ höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle $I_n$ existieren, die $M$ überdecken und deren Längensumme

(1)

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~|I_n|\leq\varepsilon \end{align}

ist.

Spezielle Nullmengen und Verknüpfungen von Nullmengen

Satz: a) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist ebenfalls eine Nullmenge.
b) Jede höchstens abzählbare Teilmenge von $\mathbb R$ ist eine Nullmenge.
c) Die Vereinigung höchstens abzählbar vieler Nullmengen ist eine Nullmenge.

Beweis: a) ist trivial. Zu b): Sei $M$ eine höchstens abzählbare Teilmenge von [[\mathbb R$]] und $\varepsilon>0$ beliebig. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $r:\mathbb N\to M, n\mapsto r_n$. Die Intervalle $I_n:=\left(r_n-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}},r_n+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\right), n\in\mathbb N$ überdecken dann $M$ und es gilt:

(2)

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~|I_n|=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon\leq\varepsilon. \end{align}

Damit ist $M$ tatsächlich eine Nullmenge.
c) $M_1,M_2,\ldots$ seien Nullmengen und $\varepsilon>0$ beliebig. Zu $M_n$ existieren dann höchstens abzählbar viele Intervalle $I_{n1},I_{n2},\ldots$, die $M_n$ überdecken und deren Längensumme

(3)

\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}~|I_{nk}|\leq \frac{\varepsilon}{2^n} \end{align}

ist. Die ebenfalls höchstens abzählbar vielen Intervalle $I_{nk}$ mit $n,k\in\mathbb N$ überdecken dann die Vereinigung

(4)

\begin{align} \bigcup_{n=1}^{\infty}~M_n \end{align}

und ihre Längensumme ist

(5)

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~\sum_{k=1}^{\infty}~|I_{nk}|\leq \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon. \end{align}

Also ist auch die Vereinigung eine Nullmenge. $\Box$

Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium

Ohne Beweis geben wir ein Kriterium an, welches Riemann-integrierbare Funktionen vollständig charakterisiert. Dabei sagen wir, eine Funktion hat eine bestimmte (für jeden Punkt definierte) Eigenschaft fast überall (im Definitionsbereich), falls die Menge aller Punkte des Definitionsbereichs, die diese Eigenschaft nicht erfüllen, eine Nullmenge ist.
In dem speziellen, für uns wichtigen Fall bedeutet dies: Die Funktion $f$ heißt auf ihrem Definitionsbereich fast überall stetig, falls die Menge der Unstetigkeitspunkte des Definitionsbereichs eine Nullmenge bildet.

Lebesguesches Integrabilitätskriterium: Eine Funktion $f:[a,b]\to\mathbb R$ ist genau dann $R$-integrierbar, wenn sie beschränkt und fast überall stetig ist.

Als Nullmenge (oder auch -Nullmenge) bezeichnet man in der Mathematik eine Teilmenge eines Maßraums (genauer: ist ein Element der zugehörigen σ-Algebra), die das Maß null hat. Sie ist nicht mit der leeren Menge zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten. Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge auch vernachlässigbare Mengen hinzu, d. h. solche, die Teilmenge einer Nullmenge, aber nicht notwendigerweise Element der -Algebra sind und denen deswegen selbst eventuell kein Maß zugeordnet ist. Wird allen Mengen, die sich nur um eine solche vernachlässigbare Menge von einem Element der -Algebra unterscheiden, ebenfalls ein Maß zugeordnet, spricht man von der Vervollständigung des Maßes, wie sie etwa in der Definition des Lebesgue-Maß verwendet wird.

Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer -Nullmenge gilt, sagt man, dass sie -fast überall gilt. Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so sagt man auch -fast sicher anstelle von -fast überall.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die leere Menge bildet in jedem Maßraum eine Nullmenge.

Für das Lebesgue-Maß auf bzw. auf gilt:

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inhalte auf Halbringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann Nullmengen auch allgemeiner für Elemente eines Halbringes definieren. Eine Menge aus heißt Nullmenge, wenn für den Inhalt gilt . Diese Verallgemeinerung beinhaltet sowohl die obige Definition, da jede -Algebra auch ein Halbring ist und jedes Maß auch ein Inhalt ist, als auch den Fall für Ringe und Prämaße.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten gibt es im Allgemeinen keine sinnvolle Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Dennoch kann der Begriff der Lebesgue-Nullmengen sinnvoll auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen werden: Sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und , dann heißt eine Lebesgue-Nullmenge, wenn für jede Karte mit die Menge eine Lebesgue-Nullmenge in ist.[1]

Mit dieser Definition lässt sich der Satz von Sard auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen. Im Fall von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten sind diese Lebesgue-Nullmengen identisch mit den Nullmengen bezüglich des Riemann-Lebesgueschen Volumenmaßes.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. abTheodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 143). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / u. a. 1990, ISBN 3-540-06461-3, § 6. Der Satz von Sard, Definitionen 6.1 und 6.3, S. 58–59 (Korrigierter Nachdruck. Mit „differenzierbar“ ist hier immer gemeint.). 
  2. ↑Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel IX. Elemente der Maßtheorie, 5. Das Lebesguesche Maß, Theorem 5.1(v), S. 41. 
  3. ↑Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel XII. Integration auf Mannigfaltigkeiten, 1. Volumenmaße, Satz 1.6, S. 409. 
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